Почесний громадянин міста від 25 липня 2018 року
Народився 19 березня 1969 року в селі Троянівка Маневицького району Волинської області. Проживав у місті Луцьку.
У 1986 році закінчив Троянівську загальну середню школу. Строкову військову службу у 1989 році завершив у званні старшини.
Здобув дві вищі освіти. У 1994 році закінчив Волинський державний університет імені Лесі Українки. Працював вчителем української мови та літератури у середній школі села Літогоще Рожищенського району.
У 1998 році закінчив факультет післядипломної освіти того ж університету за спеціальністю «Правознавство». Викладав правові дисципліни у Луцькому інституті розвитку людини університету «Україна». Практикував як юрисконсульт, був юристом у Волинському обласному центрі з надання безоплатної правової допомоги. Мав наукові публікації.
Як активний член Козацького Стрілецького Братства проводив широку роз’яснювальну та просвітницьку роботу, ініціював, організовував та брав участь у заходах щодо відновлення та вшанування пам'ятних дат і постатей боротьби за створення та розбудову Української держави. Студентом брав активну участь у підтримці Революції на граніті 1990 року, був активним учасником Помаранчевої революції 2004 року та Революції Гідності 2013-2014 років. Під час Революції Гідності перебував у складі 4-ої козацької сотні.
З початком збройної агресії Російської Федерації активно включився в роботу щодо забезпечення громадського порядку та безпеки у місті, а також на кордоні з Республікою Білорусь. З метою підготовки до активної участі у захисті Батьківщини проходив фізичні тренування, військовий вишкіл та злагодження. У липні 2014 року добровільно виїхав на Схід України та вступив у 24-й батальйон територіальної оборони «Айдар», в складі якого на посаді старшого водія виконував бойові завдання із захисту суверенітету, незалежності та територіальної цілісності України.
Загинув 17 серпня 2014 року в селі Хрящувате Краснодонського району Луганської області.
24 серпня 2014 року похований на Алеї почесних поховань у селі Гаразджа Луцького району.
Указом Президента від 27 червня 2015 року № 365/2015 «За особисту мужність і героїзм, виявлені у захисті державного суверенітету та територіальної цілісності України, вірність військовій присязі під час російсько-української війни» нагороджений орденом «За мужність» ІІІ ступеня (посмертно), нагрудним знаком «За оборону Луганського аеропорту» (посмертно).
У червні 2015 року в селі Троянівка на честь Сергія Климчука названо вулицю. 19 березня 2016 року у Луцьку на будинку № 1а по вулиці Бенделіані відкрито меморіальну дошку на його честь.
За вірність військовій присязі, особисту мужність, самовідданість та героїзм, виявлені під час виконання бойових завдань в зоні проведення антитерористичної операції на Сході України, а також вагомий особистий внесок у забезпечення суверенітету і територіальної цілісності України посмертно присвоєно звання «Почесний громадянин міста Луцька» (рішення Луцької міської ради від 25 липня 2018 року № 44/1).